Presentamos la construcción de un espacio de diferenciabilidad Gâteaux que no es Asplund débil basándonos principalmente en los siguientes resultados: 1) Si (X* ; ω*) es débilmente Stegall entonces X es un espacio de diferenciabilidad Gâteaux. 2) Si (C(KA); ||•||∞) es Asplund débil entonces A es perfectamente magro. Más adelante probaremos la existencia de un subconjunto A denso no magro de (0; 1) y A un σ−ideal fuertemente topológicamente estable en ({0; 1}N; p) de modo que, bajo ciertas condiciones especiales, el espacio (BVA[0; 1]; A) sea aproximadamente Stegall con respecto a A. En consecuencia, (C(KA)*; ω*) es débilmente Stegall. Finalmente, por (1) y (2), concluiremos que C(KA) es un espacio de diferenciabilidad Gâteaux que no es Asplund débil.