Hopf bifurcation in an autonomous system with logistic growth and Holling type II functional response
Descripción del Articulo
The autonomous prey-predator system with logistic growth and Holling type II functional response, which describes the population dynamics of two species. In this study, the equilibrium points of the system (1.1) were identified. Two saddle-node points and one non-trivial P3 equilibrium point were fo...
| Autores: | , |
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| Formato: | artículo |
| Fecha de Publicación: | 2023 |
| Institución: | Universidad Nacional de Trujillo |
| Repositorio: | Revistas - Universidad Nacional de Trujillo |
| Lenguaje: | español |
| OAI Identifier: | oai:ojs.revistas.unitru.edu.pe:article/5303 |
| Enlace del recurso: | https://revistas.unitru.edu.pe/index.php/SSMM/article/view/5303 |
| Nivel de acceso: | acceso abierto |
| Materia: | sistemas dinamicos puntos de equilibrio crecimiento logistico respuesta funcional de holling tipo ii bifurcación de hopf Dynamical system Hopf bifurcation Hartman-Grobman theorem phase portrait Holling type II functional response Sistema dinámico bifurcación de Hopf teorema de Hartman-Grobman retrato fase respuesta funcional de Holling tipo II |
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Hopf bifurcation in an autonomous system with logistic growth and Holling type II functional response Bifurcación de Hopf en un sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional de Holling tipo II Bifurcación de Hopf en un sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional tipo II de Holling. |
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The autonomous prey-predator system with logistic growth and Holling type II functional response, which describes the population dynamics of two species. In this study, the equilibrium points of the system (1.1) were identified. Two saddle-node points and one non-trivial P3 equilibrium point were found. For this latter point, the conditions were determined for the Jacobian matrix of (1.1), evaluated at P3, to have a pair of purely complex eigenvalues (necessary condition for the Hopf bifurcation). Through this analysis, values c0, δ0, k0 were found that satisfied these conditions. Subsequently, each of these values is considered as a bifurcation parameter value, and the remaining two are considered as control parameters, under the assumptions of the normal form theorem for the Hopf bifurcation, it’s concluded that by varying these values slightly, the system undergoes the Hopf bifurcation. Finally, the first Lyapunov coefficient was calculated to determine the conditions under which the system exhibits supercritical, subcritical, and degenerate Hopf bifurcation. The analysis was supported by using MAPLE and MATLAB software, which enabled graphical visualization of the obtained results. |
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Selecciones Matemáticas; Vol. 10 No. 02 (2023): August - December; 444 - 461 Selecciones Matemáticas; Vol. 10 Núm. 02 (2023): Agosto - Diciembre; 444 - 461 Selecciones Matemáticas; v. 10 n. 02 (2023): Agosto - Dezembro; 444 - 461 2411-1783 reponame:Revistas - Universidad Nacional de Trujillo instname:Universidad Nacional de Trujillo instacron:UNITRU |
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Hopf bifurcation in an autonomous system with logistic growth and Holling type II functional responseBifurcación de Hopf en un sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional de Holling tipo IIBifurcación de Hopf en un sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional tipo II de Holling.Paz Vidal, Danny EstefanySalazar Gordillo, Joan Estebansistemas dinamicospuntos de equilibriocrecimiento logisticorespuesta funcional de holling tipo iibifurcación de hopfDynamical systemHopf bifurcationHartman-Grobman theoremphase portraitHolling type II functional responseSistema dinámicobifurcación de Hopfteorema de Hartman-Grobmanretrato faserespuesta funcional de Holling tipo IIThe autonomous prey-predator system with logistic growth and Holling type II functional response, which describes the population dynamics of two species. In this study, the equilibrium points of the system (1.1) were identified. Two saddle-node points and one non-trivial P3 equilibrium point were found. For this latter point, the conditions were determined for the Jacobian matrix of (1.1), evaluated at P3, to have a pair of purely complex eigenvalues (necessary condition for the Hopf bifurcation). Through this analysis, values c0, δ0, k0 were found that satisfied these conditions. Subsequently, each of these values is considered as a bifurcation parameter value, and the remaining two are considered as control parameters, under the assumptions of the normal form theorem for the Hopf bifurcation, it’s concluded that by varying these values slightly, the system undergoes the Hopf bifurcation. Finally, the first Lyapunov coefficient was calculated to determine the conditions under which the system exhibits supercritical, subcritical, and degenerate Hopf bifurcation. The analysis was supported by using MAPLE and MATLAB software, which enabled graphical visualization of the obtained results.El sistema autónomo presa-predador con crecimiento logístico y respuesta funcional de Holling tipo II describe la dinámica poblacional de dos especies. En este estudio se identifican los puntos de equilibrio del sistema (1.1), encontrando dos puntos silla-nodo y un punto de equilibrio P3 no trivial. Se determina las condiciones para que la matriz jacobiana de (1.1), evaluada en P3, tenga un par de valores propios complejos puros que es la condición necesaria para la ocurrencia de la bifurcación de Hopf; lo cual permite encontrar los valores c0, k0, δ0 que cumplen esta condición. Se considera cada uno de estos valores como parámetro de bifurcación, y bajo las hipótesis del teorema de la forma normal de la bifurcación de Hopf, se concluye que para cada uno de los valores c0, k0, δ0 el sistema (1.1) es topológicamente equivalente a la forma normal de la bifurcación de Hopf. Por último, se calcula el primer coeficiente de Lyapunov para determinar el tipo de bifurcación de Hopf (supercrítica, subcrítica y degenerada) que admite el sistema en cada uno de los casos. Para respaldar los resultados teóricos encontrados se usa MAPLE y MATLAB, los cuales permiten confrontar los resultados. En particular, el uso de MATLAB permitió visualizar los resultados de forma gráfica.El sistema autónomo presa-depredador con crecimiento logístico y respuesta funcional tipo II de Holling, que describe la dinámica poblacional de dos especies, presa-depredador, se modela mediante un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: \begin{ecuación} \label{equivalente:S} \izquierda\{ \begin{matriz}{ll} \dot {x_1}=F_1(x_1,x_2)=x_1\left(1-\dfrac{x_1}{k}\right)-\dfrac{cx_1x_2}{1+x_1}\\ \dot{x_2}=F_2(x_1,x_2)=-\delta x_2 + \dfrac{cx_1x_2}{1+x_1} \end{matriz} \bien. \end{ecuación} donde $x_1(t)$ y $x_2(t)$ representan la cantidad poblacional de presas y depredadores en el tiempo $t$, respectivamente, y $ \delta, c, k$ son parámetros positivos. \\ In this study, the equilibrium points of the system (\ref{eq:S}) were identified. Two saddle-node points and one non-trivial $P_3$ equilibrium point were found. For this latter point, the conditions were determined for the Jacobian matrix of (\ref{eq:S}), evaluated at $P_3$, to have a pair of purely complex eigenvalues (necessary condition for the Hopf bifurcation). Through this analysis, values $c_0, \delta_0, k_0$ were found that satisfied these conditions. Subsequently, each of these values is considered as a bifurcation parameter value, and the remaining two are considered as control parameters, under the assumptions of the normal form theorem for the Hopf bifurcation, it's concluded that by varying these values slightly, the system undergoes the Hopf bifurcation. Finally, the first Lyapunov coefficient was calculated to determine the conditions under which the system exhibits supercritical, subcritical, and degenerate Hopf bifurcation. \\ The analysis was supported by using MATLAB software, which enabled graphical visualization of the obtained results. \\ \textbf{Palabras clave:} Sistema dinámico, bifurcación de Hopf, punto de equilibrio, teorema de Hartman-Grobman, retrato de fase, curva logística, respuesta funcional Holling tipo II.National University of Trujillo - Academic Department of Mathematics2023-12-27info:eu-repo/semantics/articleinfo:eu-repo/semantics/publishedVersionapplication/pdfhttps://revistas.unitru.edu.pe/index.php/SSMM/article/view/5303Selecciones Matemáticas; Vol. 10 No. 02 (2023): August - December; 444 - 461Selecciones Matemáticas; Vol. 10 Núm. 02 (2023): Agosto - Diciembre; 444 - 461Selecciones Matemáticas; v. 10 n. 02 (2023): Agosto - Dezembro; 444 - 4612411-1783reponame:Revistas - Universidad Nacional de Trujilloinstname:Universidad Nacional de Trujilloinstacron:UNITRUspahttps://revistas.unitru.edu.pe/index.php/SSMM/article/view/5303/5803Derechos de autor 2023 Selecciones Matemáticashttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0info:eu-repo/semantics/openAccessoai:ojs.revistas.unitru.edu.pe:article/53032023-12-27T14:40:03Z |
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