En el presente trabajo, primeramente consideramos el Problema de Dirichlet para un operador elíptico bidimensional de segundo orden, luego describimos el espacio de elementos finitos sobre el cual trabajaremos y consideramos fórmulas de cuadratura las cuales son exactas sobre polinomios de grado cuatro en cada variable. En la sección 4 enunciamos y demostramos algunos lemas que sirven para establecer la superconvergencia del Gradiente la cual se da en la sección 5. En las secciones 6 y 7, aplicamos los resultados de superconvergencia a problemas de tipo parabólico e hiperbólico, respectivamente, usando normas y seminormas apropiadas.