A study of dimensional and recurrence properties of invariant measures of full-shift and axiom a systems: generic behaviour - Condori Huamán, Alexander Paul (2019)
En esta tesis, nos interesa caracterizar las propiedades dimensionales típicas (genéricas) de medidas invariantes asociadas al sistema de cambio completo (full-shift system), (X, T ), en un espacio producto cuyo alfabeto es no numerable. Se muestra que el conjunto de medidas invariantes que tienen dimensión de Hausdorff superior cero y dimensión de empaquetamiento inferior infinita es un subconjunto Gδ-denso de M(T ), el espacio de medidas T -invariantes dotadas con la topología débil. También se muestra que el conjunto de medidas invariantes con tasa de recurrencia superior igual a infinito e inferior igual a cero es un subconjunto Gδ-denso de M(T ). Además, se muestra que el conjunto de medidas invariantes con un indicador de tiempo de espera cuantitativo superior infinito e inferior cero es residual en M(T ). Para sistemas dinámicos topológicos con un conjunto denso de medidas periódicas, se muestra que una medida invariante típica tiene, para cada q>0, q-dimensión fractal generalizada inferior igual a cero. Esto implica, en particular, que una medida invariante típica tiene dimensión de Hausdorff superior y tasa de recurrencia inferior iguales a cero. De especial interés es el sistema de cambio completo (full-shift system), (X, T ), (donde X = M Z es dotado de una métrica sub-exponencial y M es un espacio métrico perfecto y compacto), para el cual se muestra que una medida invariante típica tiene, para cada q > 1, q-dimensión de correlación superior infinita. Bajo las mismas condiciones, una medida invariante típica tiene, para cada s ∈ (0, 1) y cada q>1, dimensión inferior s-generalizada igual a cero y dimensión superior q-generalizada infinita. Finalmente, para sistemas dinámicos que preservan medidas sobre espacios métricos, presentamos condiciones suficientes que involucran las dimensiones puntuales superior e inferior de la medida para obtener límites superiores e inferiores para sus dimensiones fractales generalizadas. También se obtiene una extensión del Teorema de Young que involucra las dimensiones fractales generalizadas de la medida de Bowen-Margulis de un sistema Axioma A. Además, para sistemas Axioma A, se muestra que una medida invariante típica tiene dimensión de correlación cero, bajo una métrica hiperbólica.