El Álgebra de las funciones continuas polinomiales por partes - Torres Zenteno, Orlando (2018)
El Método de los Elementos Finitos (MEF) es hoy en día uno de los métodos numéricos más usados para resolver ecuaciones diferenciales parciales provenientes de la física y la ingeniería. Tradicionalmente, el método aproxima la solución por medio de funciones continuas lineales por partes C0 1 . Uno de los principales resultados que permiten la implementación del método es la existencia de una base nita para el espacio C0 1 , en efecto, como veri camos en este trabajo, las funciones de Courant (hat functions) forman una base para C0 1 . Desde sus inicios, por los años 70-80, varias ideas nuevas surgieron para mejorar algunos defectos que se presentaron en el método. Uno de los principales defectos fué la pobre aproximación que se logra usando funciones lineales por partes, y una solución para esto fué considerar espacios Cr p de funciones de clase Cr polinomiales por partes de grado p > 1, la contraparte es que encontrar una base para el espacio C0 p es una tarea difícil. En la primera parte del presente trabajo estudiamos el espacio vectorial C0 de funciones continuas polinomiales por partes, que tiene una estructura de álgebra, con la suma y multiplicación usual de funciones. Veri camos el resultado debido a Louis Billera (1989) que muestra que las funciones de Courant forman un conjunto nito de generadores para C0. En la segunda parte, explicamos como se aplica estos resultados en el desarrollo del MEF, la cual es ilustrada con varios ejemplos de aplicación en el análisis de vigas.