GRUPOS Y SUBGRUPOS ESPECIALES Clases laterales, Teorema de Lagrange. Subgrupos normales. Grupo cociente. Didáctica de los homomorfismos de grupos, núcleo e imagen de un homomorfismo de grupos. Teorema de descomposición de homomorfismos de grupos. Subgrupos generados, grupos cíclicos. Grupos de permutaciones. Signo y subgrupo alternante. - Amarillo Hinostroza, Miriam Lizet (2019)
El objetivo de este trabajo de investigación fue el estudio de grupos y subgrupos especiales que es uno de los temas del álgebra que más alcances en su aplicación. Las aplicaciones abordan diversas áreas como Geometría, Teoría de números, Topología algebraicas; en Física y Química su alcance tiene espacio en el campo de las simetrías de las estructuras moleculares, etc. En este trabajo como tema introductorio presentamos las nociones básicas y resultados básicos, pero fundamentales en las estructuras de grupos. Un concepto fundamental que vamos a estudiar es la ley de composición interna u operación interna y que sirve como fundamento para la posterior definición de estructuras algebraicas. Estas operaciones internas pueden considerarse reglas de asociación de dos números con el objetivo de componer un tercero perfectamente definido. En el segundo capítulo del trabajo está dedicado a tratar los Grupos y Subgrupos. La noción de grupo surgió históricamente del intento de extender los procedimientos básicos de resolución de ecuaciones polinómicas de grado ≤ 4, a ecuaciones de grado superior. Actualmente la noción de grupo se ha abstraído de sus realizaciones concretas y la teoría de grupos es una disciplina matemática bien consolidada. Para comenzar, los grupos como una estructura simple son aquellas que existe un solo conjunto dotado de una operación única. Sin embargo, a pesar de esta simplicidad de las descripciones los conceptos fundamentales del álgebra tales como Clases Laterales, Homomorfismos, Subgrupos Normales, Núcleo e Imagen de un Homomorfismo, Grupo cociente, etc., juegan un papel importante en todas las estructuras algebraicas. En el tercer capítulo conoceremos y comprender de manera concreta los Subgrupos Generados ‹S›, la obtención de estos subgrupos y los teoremas concernientes a ellos, para luego utilizarlos en el estudio de los grupos cíclicos. Además, en este mismo capítulo definiremos los Grupos Cíclicos, mencionar algunas propiedades y mencionar algunos ejemplos. En el cuarto capítulo trabajaremos con Grupos de Permutaciones. Estos grupos nos proporcionan los primeros ejemplos de grupos que no son abelianos. Además, definiremos Ciclos de una permutación, Permutaciones disjuntas, Signos de una Permutación y Grupo Alternante.