Anillos. Propiedades de los anillos. Subanillos. Tipos de anillos. Característica. Divisores de cero. Homomorfismos e isomorfismos. Ideales. Ideales principales. Ideales primos y maximales. Anillos cocientes. Anillos euclidianos. - Chujutalli Mori Tony (2021)
El objetivo de este trabajo de investigaciòn es dar a conocer que un anillo es un conjunto no vacío en el que se encuentran definidas dos operaciones binarias internas, llamadas suma o adición, denotada por +, y producto o multiplicación, denotada por ∙, tal que se cumple que el anillo definido en la suma es un grupo abeliano, que el anillo definido en la multiplicación es un semigrupo que cuenta con el elemento de identidad 1 y que la operación de multiplicación es distributiva con respecto a la suma para todos sus elementos. Estos anillos pueden tener diversas características y, por lo tanto, pueden ser clasificados de acuerdo con la relación que existe entre todas estas. Entre los tipos de anillos se encuentran los anillos conmutativos, los anillos con identidad, los anillos de dominio integral, los anillos de división y los cuerpos. En un anillo conmutativo se cumple la propiedad de conmutatividad de la multiplicación. Un anillo con identidad es aquel en el que se cumple que existe un elemento 1 que pertenece al conjunto. Decimos que un anillo es un dominio de integridad si este es un anillo conmutativo con identidad en el que se cumple que a ∙ b = 0 solo si a = 0 o b = 0. Por otra parte, un anillo de división es un anillo no nulo con identidad en el que todos sus elementos que no son iguales a cero son invertibles y, por lo tanto, son unidad. Finalmente, un cuerpo es aquel anillo de división que, además, es conmutativo. Todos estos presentan características distintas, pero se encuentran relacionados al compartir algunas propiedades. Cualquiera de estos, al encontrarse definidos por las operaciones internas de adición y multiplicación pueden contener dentro de sí mismos otros anillos más pequeños, los cuales se denominan subanillos. Estos subanillos se caracterizan por tener las mismas operaciones internas que definen al anillo original. Dentro del campo de los anillos existen funciones que preservan las leyes de operación interna existentes entre estas. Estas se denominan homomorfismos, y se caracterizan por ser funciones : → que satisface: ( + ) = () + () y ( ∙ ) = () ∙ (). De acuerdo con sus características, los homomorfismos pueden ser clasificadas en monomorfismo (si es una función inyectiva), epimorfismo (si es una función suprayectiva) e isomorfismo ( si es una función biyectiva, es decir, inyectiva y suprayectiva). Estas funciones son importantes porque permiten establecer la propiedades de las operaciones que se realizan entre distintos anillos. Dentro de la la teoría de anillos, el ideal es una de las subestructuras más importantes. Esta importancia radica en que este concepto permite la construcción de anillos cociente y porque, además, es uno de los puntos más importantes para el desarrollo de otras áreas, tales como la teoría de números y la gemetría algebraica. Un ideal es un subanillo que cumpre dos premisas: (a) es un subgrupo aditivo del anillo original y (b) para todos los elementos del subanillo y el anillo se cumple que la multiplicación entre estos también son elementos del subanillo. Así como existen tipos de anillos, también se pueden definir tipos de ideales. Entre estos se encuentran los ideales generados, ideal principal, ideal primo e ideal maximal. Tras definir el concepto de ideal, se puede dar paso al anillo cociente. El anillo cociente es el anillo definido por un subanillo A de un anillo R (R/A), en el que se cumple (1) (s+A)+(p+A)=s+p+A y (2) (s+A)∙(p+A)=s∙p+A