CONJUNTOS. Enfoque axiomático de la teoría de conjuntos. La paradoja de Russel Inclusión. Operaciones con conjuntos. Familia de conjuntos y operaciones básicas generalizadas. Partición y Cubrimiento. Didáctica de la teoría de conjuntos. Resolución de problemas. - Renteria Figueroa, Humberto Wilmer (2019)
El objetivo de este trabajo de investigación es dar a conocer la teoría de conjuntos constituye una parte esencial de la Matemática; junto con la lógica constituyen los dos fundamentos de esta disciplina científica. La teoría de conjuntos ha pasado por tres etapas, al igual que la geometría, el cálculo u otros aspectos de la Matemática. La Teoría de conjuntos fue formulada por George Cantor en 1984. Fue tan controversial su propuesta, que algunos auguraron una etapa oscura o una enfermedad de la que los matemáticos pronto se recuperarían. Otros en cambio la vieron como un espacio paradisiaco del que nadie logrará sacarlos. Entre los primeros están Kronecker y Poincaré; entre los segundos, Hilbert o Zermelo. La teoría intuitiva de los conjuntos permite generalizar las colecciones de objetos que tenemos a nuestro alrededor. Esta se enseña en los niveles de Educación Primaria y Secundaria. La teoría axiomática formulada por Zermelo y Fraenkel logra superar las antinomias y paradojas mostradas por la teoría intuitiva. Un conjunto en esta teoría es un objeto que verifica los axiomas dados. No hacen alusión a objetos de la realidad y su aplicación se da fundamentalmente para los conjuntos infinitos. La teoría formalizada de los conjuntos supone incorporar la lógica de predicados de primer orden. Se evita toda ambigüedad y fue el aporte de Skolem, quien junto a Zermelo y Fraenkel son los responsables de esta teoría axiomática. Posteriormente, Von Neumann, Bernays y Gödel esbozaron una teoría mejorada a la anterior. Esta teoría se denomina Teoría de Clases. La axiomática de Zermelo dispone de un axioma que permite comparar cuándo dos conjuntos son iguales y cuándo no. Otro axioma, según Zermelo: los conjuntos no se determinan con enunciar alguna propiedad bien determinada, se requiere de un conjunto en el cual se aplique dicha propiedad. De la nada no se saca nada. Hay otros axiomas, como el de apareamiento, el de unión, el de potencia, que permite determinar nuevos conjuntos. Con estos axiomas es posible determinar operaciones con los conjuntos. Las operaciones básicas de conjuntos son: la reunión, la intersección, la diferencia. También se puede obtener el producto cartesiano. Esta no es una operación algebraica o ley de composición interna. Zermelo propone un axioma del infinito. Existe un conjunto sucesor. Admite la existencia de un infinito, el cual puede ser incrementado. Con la teoría axiomática podemos explicar y demostrar las operaciones aritméticas: adición, multiplicación, sin aludir a objetos de la realidad. Le teoría de conjuntos permite descubrir hechos como que en un segmento de recta hay tantos puntos como en una recta. O que en el interior de un cuadrado hay tantos puntos como en un lado de dicho cuadrado. La teoría axiomática de los conjuntos, actualmente está en la base del Análisis Matemático, el Álgebra, la Geometría, la Topología, la Estadística y la Probabilidad.