ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE SEGUNDO ORDEN Y EL PROBLEMA DE CAUCHY Ecuaciones diferenciales de 2do. orden con coeficiente constantes. Ecuaciones diferenciales de 2do orden con coeficientes variables. Variación de parámetros Wronskiano. Método de coeficientes indeterminados. Transformada de Laplace y sus aplicaciones en la resolución de ecuaciones diferenciales. Punto fijo. Funciones lipschitzianas. El problema de Cauchy. Existencia y unicidad del problema de Cauchy. Aplicaciones - Melgarejo Moreano, Maribel Dayana (2021)
El objetivo de este trabajo de investigación fue en esta investigación se habla de lo más elemental de las ecuaciones diferenciales ordinarias, aquellas que dependen de una sola variable independiente; las ecuaciones diferenciales parciales, aquellas que dependen de dos o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden adquieren este nombre debido a que es la derivada de mayor orden, en este caso orden 2. Las EDOs de segundo orden se van a clasificar de acuerdo a su linealidad, EDOs lineales (donde sus coeficientes dependen de una variable) y las EDOs no lineales (va a depender de otras variables). Se va a hablar mayormente de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, en la cual estas se van a clasificar en dos tipos, EDOs lineal homogénea de segundo orden (la ecuación diferencial es igual a cero) y las EDOs lineal no homogénea de segundo orden (la ecuación diferencial es diferente de cero). Se tiene también EDOs de coeficiente constantes y de coeficiente variable. En las EDOs lineal de segundo orden se van a presentar dos métodos para poder hablar su solución particular, método de coeficientes indeterminados (nos va a permitir encontrar la solución particular, si la ecuación diferencial es igual a una función constante, polinómica o funciones seno y coseno), para poder resolver mediante este método las EDOs lo primero que se realizará es hablar su solución homogénea ℎ = 1 1 + 2 2 y luego encontrar su solución particular, finalmente encontrar la solución general de la forma = ℎ + . Para el método de variación de parámetros (nos sirve para encontrar la solución particular para cualquier tipo de función que presente la ecuación diferencial), para este método en las EDOs de segundo orden se van a desarrollar con dos funciones 1 = 47 − ∫ 2 ( ) ^ 2 = ∫ 1 ( ) , para encontrar estas funciones se va a tener que emplear el wronskiano. Vamos a encontrar otras formar de resolver las ecuaciones diferenciales usando la transformada de Laplace () = ℒ[ ( )] = ∫ − ( ) ∞ 0 y algunas de sus propiedades. En el último capítulo se va a hablar acerca del método de punto fijo, es un método numérico que va a permitir encontrar aproximaciones de raíces. Las funciones Lipschitzianas | ( 1) − ( 2)| ≤ | 1 − 2|, ∀ 1, 2 ∈ . El problema de Cauchy o también llamado problema de valor inicial (PVI) nos va a permitir hallar una solución de la ecuación diferencial mediante condiciones iniciales.