Anillos. Propiedades de los anillos. Subanillos. Tipos de anillos. Característica. Divisores de cero. Homomorfismos e isomorfismos. Ideales. Ideales principales. Ideales primos y maximales. Anillos cocientes. Anillos euclidianos - Chujutalli Mori, Tony (2021)
El objetivo de este trabajo de investigación es los conceptos, definiciones, teoremas y propiedades incluidas en la teoría de anillos. A pesar de que los elementos incluidos en el estudio de los anillos son abstractos, la aplicabilidad de estos resulta bastante extensa y, por lo tanto, requieren de una extensa investigación. De esta manera, en el presente trabajo se ha estructurado la información correspondiente a la teoría de anillos en tres capítulos. El primer capítulo abarca los conceptos fundamentales detrás de la teoría de los anillos. En esta, se inicia con la conceptualización de los anillos y de las propiedades que determinan la existencia de un anillo. Dentro de este mismo apartado se enumeran las propiedades de los anillos que establecen las relaciones que pueden darse entre las leyes de operación definidas para los anillos: la adición y la multiplicación. Tras brindarse la definición de los anillos, se realiza la clasificación de los tipos de anillos: anillos conmutativos, anillos con identidad, dominios integrales, anillos de división y cuerpos. Para cada uno de estos, se ofrece una definición, así como diversos ejemplos y demostraciones que permiten una mejor comprensión de las propiedades que cumplen para cada uno de estos tipos de anillos. Asimismo, se describen los subanillos, incluyéndose en esta sección los métodos de demostración formal para establecer si un subconjunto puede o no ser considerado un subanillo. Tras la conceptualización del anillo, se abarca en el segundo capítulo el estudio de las funciones definidas para estas estructuras: los homomorfismos. En este capítulo se establecen las propiedades de los homomorfismos, así como los tipos y las características de cada uno de estos. De forma similar a lo realizado en el primer capítulo, en esta también se incluyen ejemplos y demostraciones que permitan una mejor comprensión de las definiciones matemáticas. El tercer capítulo abarca el estudio de los ideales y los anillos cocientes y euclideanos. Dado que la definición de anillos cocientes y euclideanos dependen de la conceptualización de los ideales, se incluye acá una extensa investigación sobre estos. De esta manera, adicional a la definición de ideales, se incluyen las metodologías que permiten demostrar si un conjunto es un ideal, así como la definición de las operaciones que pueden realizarse entre ideales. En este apartado también se incluyen los tipos de ideales y las propiedades que cumplen cada uno de estos. Tras esto, se ofrece la conceptualización y diversos ejemplos y demostraciones que permiten comprender el concepto de anillos cociente y anillos euclideanos. Para finalizar, el trabajo incluye una sesión de aprendizaje que abarca la metodología de enseñanza de una de las leyes de operación que definen al anillo de los números enteros: la multiplicación. En este se detallan las actividades a realizar en una sesión de clase para enseñar los aspectos más importantes de esta operación. Asimismo, se incluye una hoja de ejercicios construida específicamente para acompañar la práctica de aprendizaje de los estudiantes mientras se abarca esta área. Por último, el trabajo presenta una síntesis del material cubierto en esta investigación, así como una apreciación crítica y recomendaciones por parte del investigador. A través de estos, se enumeran los puntos más importantes alrededor de la teoría de anillos y de los distintos elementos que pueden ser benficiosos para su enseñanza en las escuelas.