Existencia de solución global y decaimiento de la solución de un sistema de la jerarquía AKNS - Quisperima Huamán, Flor de María (2025)
En este trabajo estudiaremos el problema de valor inicial asociado al sistema de Ablowitz, Kaup, Newell y Segur (AKNS) { ∂ + ∂ 3 + ∂ ( 2 ) = 0 , , ∈ , ∂ + ∂ 3 + ∂ ( 2 ) = 0 , ( , 0 ) = ( ) , ( , 0 ) = ( ) . (1) ⎩ ⎨ ⎧ ​ ∂ t ​ u+∂ x 3 ​ u+∂ x ​ (uv 2 )=0,x,t∈R, ∂ t ​ v+∂ x 3 ​ v+∂ x ​ (u 2 v)=0, u(x,0)=φ(x), v(x,0)=ψ(x). ​ (1) Nuestro objetivo es estudiar la buena formulación local, global y su comportamiento asintótico del problema (1). Empezaremos demostrando que el problema (1) está bien formulado localmente, cuando los datos iniciales pertenecen a × H s ×H s con > 3 2 s> 2 3 ​ , y que el tiempo de existencia de solución no depende del orden s del espacio de Sobolev, para ello usaremos la teoría cuasi-lineal de Kato. A continuación se adaptaron las ideas desarrolladas en Bisognin-Menzala para conseguir los estimados del conmutador, y obtener un “estimado a priori”, que junto con el “principio de extensión” nos permite para datos iniciales pequeños en × H s ×H s con ≥ 2 s≥2, probar la existencia de una solución global y su comportamiento asintótico. Finalmente, usando los estimados lineales (de tipo Kenig-Ponce-Vega) extendemos la solución local para datos iniciales en espacios × H s ×H s con ≥ 1 4 s≥ 4 1 ​ .