Para el grupo especial lineal SL(2, R) y su álgebra de Lie sl(2, R)estudiamos propiedades geométricas asociadas a sus órbitas adjuntas. En particular mostramos que se presentan apenas tres alternativas para la órbita: o bien es un hiperboloide de una hoja, o un hiperboloide de dos hojas o en su defecto un cono. Además, introducimos un potencial específico y estudiamos el correspondiente campo gradiente y su dinámica al restringirnos a la órbita adjunta. También describimos la estructura simpléctica de tales órbitas que provienen de la bien conocida forma simpléctica de Kirillov–Kostant–Souriau en órbitas coadjuntas.