Teorema de la representación conforme de Riemann - Riojas Chozo, William (2017)
El objetivo principal de este trabajo es estudiar diferentes temas relacionados con el Teorema de representación conforme de Riemann. Nos centraremos principalmente en dos resultados: El Teorema de representación de Riemann y el problema de Dirichlet para dominios simplemente conexos. Para el desarrollo de este trabajo es necesario tener conocimientos sobre el análisis complejo. Esto último en cuanto a la parte matemática ayuda a una mejor comprensión de ciertos conceptos y permite la relación entre ellos; ya que posee múltiples aplicaciones en la práctica, por ejemplo en la solución de problemas de flujo de calor, teoría potencial, mecánica de fluidos, teoría electromagnética, aerodinámica y muchas más. El Capítulo 1 contiene los preliminares, en donde se estudiará conceptos importantes, y se introduce la notación que haremos uso. Además se estudiará el Teorema de la aplicación abierta, un resultado de gran relevancia que nos garantiza que toda función holomorfa es abierta. A continuación estudiaremos las transformaciones conformes, transformaciones que serán protagonistas en la demostración del Teorema de representación de Riemann, y se darán algunos ejemplos sobre estas transformaciones. Por último se estudiará el principio del módulo máximo, que nos permite en el siguiente capítulo demostrar el Lema de Schwarz. En el capítulo 2 demostraremos el Lema de Schwarz, herramienta importante para la demostración del Teorema de representación de Riemann y que también nos permite obtener los automorfismos en el disco unidad.