Aproximación numérica y estudio de error para un operador gradiente fraccionario de orden negativo bajo - Arapa Purguaya, Luis Fernando (2026)
En este trabajo, desarrollamos un esquema numérico para aproximar el operador gradiente fraccionario de una función real de dos variables, denotados por $\partial_{x}^{α-1}$ y $\partial_{y}^{α-1}$. La motivación principal surge de la necesidad de contar con herramientas precisas y eficientes para el estudio de ecuaciones diferenciales parciales fraccionarias en dos dimensiones, como por ejemplo la ecuación de medios porosos. El objetivo central de esta tesis es proponer un método numérico que, además de ser computacionalmente viable, garantice una aproximación consistente del gradiente fraccionario. Para ello, construimos un esquema basado en la interpolación bilineal y en la restricción del dominio de la función $f$ a uno rectangular. A partir del primer operador logramos deducir el segundo, lo cual otorga simplicidad y reduce la complejidad del método. Asimismo, introducimos funciones hipergeométricas y algunas de sus propiedades, que resultaron fundamentales para la formulación analítica de nuestro método numérico. Con el fin de evaluar el desempeño del esquema presentamos experimentos numéricos que incluyen simulaciones, gráficas y tablas comparativas de error. Los resultados obtenidos muestran que el método propuesto es capaz de aproximar de manera precisa los operadores fraccionarios. En conclusión, consideramos que el presente trabajo constituye un aporte relevante en la construcción de nuevos esquemas numéricos y abre la posibilidad de extender este tipo de análisis a escenarios más generales en investigaciones futuras.