Teorema de Toponogov - Elme Sivana, Saul (2023)
Estudiar sus propiedades de una variedad M cualquiera y obtener información directa como, por ejemplo: ángulo, curvatura, longitud de curvas, volumen. Es por ello que surge la necesidad de comparar una variedad Riemanniana de curvatura seccional K ≥ k con otra variedad Qn k de curvatura seccional constante positiva k, donde se conoce sus propiedades y a partir de ella mediante una aplicación o por comparación obtener información de dicha variedad. En el presente trabajo estudiaremos el teorema de Toponogov, este resultado permite acotar la longitud de los lados de los triángulos en una variedad si tenemos una cota de curvatura seccional positiva, es uno de una familia de teoremas de comparación, es decir permite comparar distancias en una variedad n-dimensional M con distancias en Qn k. El objetivo de este trabajo es demostrar el teorema de Toponogov utilizando conceptos de curvatura, geodésicas, variedades Riemannianas completas, definiciones de bisagra y triángulo geodésico. La demostración tiene distintas técnicas, una es aplicando el Hessiano, es decir, como primer paso se busca estimaciones para el Hessiano de la función distancia d (o, γ0(·)) en la variedad Riemanniana M y ˆd(ˆo, γˆ0(·)) en el espacio de comparación Qn k y finalmente asumiendo que d− ˆd < 0 y usando la estimativa obtenida en el primer paso se llega a una contradicción, por lo tanto d ≥ ˆd. Todo este análisis está basado en (Meyer, 1989) y las notas de (Florit, 2020). El presente trabajo busca contribuir al estudio de las relaciones entre la topología y la curvatura.