Optimización convexa: El problema de optimización con restricciones - Soliz Carrasco, Nelly (2024)
La optimización es una disciplina fundamental en las matemáticas aplicadas, que se enriquece al integrar diversas áreas de la matemática pura para formar una base coherente y unificada. En el primer capítulo, se presentan conceptos clave como la convexidad en espacios normados, los hiperplanos, las funcionales lineales, la funcional de Minkowski y los teoremas de separación de Hahn-Banach. Estos elementos se exploran desde diferentes perspectivas: como componentes de un espacio dual y como hiperplanos en el espacio original. Además, se introducen principios de dualidad que relacionan problemas formulados en términos de vectores con aquellos expresados a través de hiperplanos, facilitando un enfoque más amplio para la optimización. El segundo capítulo se centra en la teoría de las funcionales conjugadas y en los teoremas de dualidad, estableciendo una base teórica para abordar problemas de optimización convexa mediante el uso de hiperplanos en espacios duales. Esta sección complementa los conceptos de conjuntos convexos, ampliando la comprensión de la dualidad en el ámbito de la optimización. En el tercer capítulo, se explora la teoría de optimización con restricciones, aplicando los principios desarrollados previamente y utilizando visualizaciones geométricas para representar soluciones en términos de hiperplanos y funcionales de soporte. Aquí se analiza el papel de los multiplicadores de Lagrange y el teorema de Kuhn-Tucker, fundamentales para resolver problemas de optimización con restricciones. Se presenta un teorema que conecta el problema primal de minimización con su problema dual, garantizando que, bajo ciertas condiciones, el valor óptimo del problema original puede expresarse en términos del problema dual. Estos resultados son esenciales en la optimización convexa, ya que permiten resolver problemas complejos de minimización indirectamente a través de su formulación dual, lo cual simplifica los cálculos en diversas aplicaciones, especialmente en problemas de espacios de dimensión infinita y con restricciones. El objetivo de este trabajo es analizar cómo resolver problemas de optimización dentro de un conjunto específico en un espacio vectorial, identificando un vector que minimice una función dada. En algunos casos, el conjunto de vectores permitidos está bien definido; en otros, se delimita mediante restricciones.