Operaciones internas y estructura de grupo. Leyes de composición interna. Operaciones o leyes asociativas. Semigrupos. Parte estable. Leyes conmutativas. Elemento neutro. Elementos inversibles o simetrizadles. Simetrización de (ℕ, +) y de (ℤ, .). Extensión de una operación interna hacia el conjunto de partes. Ley cociente. Estructura de grupo. Propiedades básicas. Subgrupos. Teorema general de subgrupos - Perez Pinado, Elisa Margot (2022)
El objetivo de este trabajo de investigación es dar a conocer que desde épocas muy antiguas, el hombre necesitó realizar algunas operaciones, tal es el caso de la adición y la multiplicación que en todas las civilizaciones han sido las más importantes y centrales por sus múltiples aplicaciones, por lo que resultan fundamentales en el proceso de enseñanza –aprendizaje, desde los niveles más elementales. Posteriormente, en la educación secundaria ya nos encontramos con operaciones matemáticas en los conjuntos numéricos de los enteros, racionales y reales; donde se presentan las diversas propiedades como la asociativa, la conmutativa, la existencia del neutro y el opuesto o inverso; a los que se debe agregar la propiedad distributiva que relaciona ambas operaciones. Estas propiedades de las operaciones matemáticas están inmersas en el estudio de las estructuras algebraicas; las mismas que son conjuntos numéricos arbitrarios no vacíos, dotados de una operación interna en las cuales se cumplen ciertas propiedades. Las estructuras algebraicas más usuales son: los monoides o grupoides, los semigrupos, grupos, anillos, cuerpos o campos y los espacios vectoriales. Históricamente, el estudio de las estructuras algebraicas se remonta a épocas muy antiguas, pero, se consolidan en la Edad Moderna y Contemporánea con los aportes de E. Galois, N.H. Abel y otros matemáticos importantes. En el desarrollo del presente trabajo monográfico, se aborda en forma específica el siguiente temario señalado en la respectiva balota: las leyes de composición interna (LCI), las propiedades y elementos distinguidos, los conceptos de semigrupos, parte estable y otros. Asimismo, se revisa la extensión de una LCI hacia el conjunto de partes, ley cociente, la estructura de grupo y subgrupo; así como el teorema general de caracterización para la existencia de grupos. Es importante indicar que los conjuntos donde se definen las estructuras algebraicas son arbitrarios, como las matrices, funciones reales, inclusive conjuntos numéricos finitos.